Wie Heißen Die Benachbarten Vielfachen Von 10 Und 100

Vielleicht hast Du es bereits gemerkt – Zahlen sind nicht immer gleich Zahlen! Es gibt verschiedene Typen von Zahlen, dice unterschiedlich klassifiziert werden, je nachdem, welche Eigenschaften sie besitzen. Solche Zahlen werden je zusammengefasst als Zahlenmengen. Eine dieser Zahlenmengen sind rationalen Zahlen. Dabei ist „ratio" das lateinische Wort für „Verhältnis" und meint, dass sich solche Zahlen als Verhältnis, also Bruch, darstellen lassen. Wie sie aber genau definiert werden, welche Beispiele es für rationale Zahlen gibt und wie Du mit ihnen rechnen kannst, lernst Du in dieser Erklärung kennen.

Rationale Zahlen Erklärung

Der Proper name „rationale Zahlen" stammt, wie bereits erwähnt, vom lateinischen Wort „ratio" ab, das and so viel heißt wie „Verhältnis" und somit im Prinzip schon dice Definition widerspiegelt.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen \(x\) und \(y\) schreiben lassen \(\left(\frac{ten}{y}\right)\), oder als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.

Zur Erinnerung: Zu den ganzen Zahlen gehören alle positiven und negativen ganzen Zahlen sowie die Null.

In der Schulmathematik werden rationale Zahlen auch Bruchzahlen genannt. Sie werden bei vielen Arten von mathematischen Aufgaben, aber auch ofttimes im Alltag angewendet. Das Gegenteil der rationalen Zahlen sind die irrationalen Zahlen.

Unterschied rationale und irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen beinhalten alle Zahlen, dice nicht zu den rationalen Zahlen gehören. Sie lassen sich im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen \(x\) und \(y\) schreiben. Irrationale Zahlen können somit Folgendes sein:

• Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen
• Wurzeln, die keine Quadratzahlen sind
• die Kreiszahl \(\pi\)

Diese Zahlen sind nicht periodisch, sie wiederholen sich also nicht.

In der Erklärung "Irrationale Zahlen" kannst Du Dein Wissen zu diesem Thema vertiefen.

Rationale Zahlen Zeichen

Wie alle anderen Zahlenmengen können die rationalen Zahlen auch durch ein Symbol dargestellt werden.

Das Zeichen der rationalen Zahlen ist: $$\mathbb{Q}$$

Die Menge der rationalen Zahlen umfasst ebenfalls dice Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) (siehe Abbildung 1).

Abb. 1 - Menge der rationalen Zahlen

Jetzt kennst Du dice Definition und das Zeichen der rationalen Zahlen. Im nachfolgenden Abschnitt kannst Du Dir Beispiele dafür ansehen, welche Zahlen alle zu den rationalen Zahlen gehören.

Rationale Zahlen Beispiele – Zahlenmenge

Die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet unendlich viele Zahlen, da es unendlich viele ganze Zahlen \(x\) und \(y\) gibt, aus denen ein Bruch gebildet werden kann.

Die Menge der rationalen Zahlen kann geschrieben werden als: $$\mathbb{Q}=\left\{\frac{x}{y};\,ten \in \mathbb{Z};\,y\in\mathbb{Z}\backslash \{0\} \right\}$$

Um dice rationalen Zahlen mit realen Zahlen greifbarer zu machen, findest Du nachfolgend einige Beispiele.

Ein Beispiel für eine rationale Zahl ist: $$-\frac{i}{2}$$ Diese Zahl kann als Bruch \(\frac{x}{y}\) aus den zwei ganzen Zahlen \(x=ane\) und \(y=1\) dargestellt werden und gehört somit zu den rationalen Zahlen.

Diese rationale Zahl kannst Du auch als Dezimalzahl schreiben: $$\frac{ane}{2}=0{,}5$$

Ein Beispiel für eine Menge aus rationalen Zahlen siehst Du hier:

$$\mathbb{Q}=\left\{-1{,}v;\,-\frac{i}{iv};\,\frac{ii}{5};\,0{,}754;\,one{,}2;\,\frac{17}{10}\correct\}$$

In Abbildung 2 kannst Du dice Einordnung der rationalen Zahlen in die verschiedenen Zahlenmengen inklusive Beispiele sehen.

Abb. 2 - Menge rationale Zahlen Beispiele

Die natürlichen und die ganzen Zahlen gehören auch zu den rationalen Zahlen, da Du sie als unechten Bruch, z. B. \(5=\frac{5}{1},\, -25=-\frac{25}{ane}\), schreiben kannst.

Rationale Zahlen – Zahlenstrahl und Zahlengerade

Auch rationale Zahlen können, wie die natürlichen und ganzen Zahlen auch, auf einem Zahlenstrahl oder einer Zahlengeraden dargestellt werden. And then ist es möglich, die rationalen Zahlen der Größe nach darzustellen und einzuordnen.

Zur Erinnerung: Auf einem Zahlenstrahl befinden sich nur positive Zahlen, während eine Zahlengerade positive und negative Zahlen umfasst.

Um die rationalen Zahlen auf einem Zahlenstrahl, oder einer Zahlengeraden richtig darzustellen, kannst Du Dich an den ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl orientieren und dice rationalen Zahlen zwischen den jeweiligen ganzen Zahlen einzeichnen. Ein paar Beispiele für rationale Zahlen auf einer Zahlengeraden kannst Du in Abbildung 3 sehen.

Abb. three - rationale Zahlen Zahlenstrahl - Zahlengerade

Zwischen zwei Strichen, also zwei ganzen Zahlen, liegen jedoch unendlich viele rationale Zahlen.

Rationale Zahlen Rechnen

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen können dice Grundrechenoperationen \(+,\,-,\,\cdot\,,:\) angewendet werden. Du kannst jede Rechenart mit jeder rationalen Zahl anwenden und bekommst immer eine rationale Zahl heraus. Deshalb wird dice Menge der rationalen Zahlen bezüglich der Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch 0) auch als abgeschlossen bezeichnet.

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen kommt es auch darauf an, wie Deine Zahlen gegeben sind. Wenn zwei Zahlen x und y addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden sollen, so ist es hilfreich, wenn beide Zahlen entweder als Bruch oder beide als Dezimalzahl vorliegen.

Wie Du einen Bruch in Dezimalzah fifty oder eine Dezimalzahl in Bruch umwandeln kannst, kannst Du in den Erklärungen dazu nachlesen.

Rationale Zahlen Regeln

Um mit den rationalen Zahlen und den Grundrechenoperationen zu rechnen, kannst Du die gängigen Regeln und Rechengesetze anwenden:

• Assoziativgesetz
• Kommutativgesetz
• Distributivgesetz
• Punkt-vor-Strich-Regel
• Klammerregel
• Vorrangregeln
• Potenzgesetz
• Wurzelgesetze

Im Folgenden lernst Du einige Beispiele für das Rechnen mit rationalen Zahlen kennen.

Rationale Zahlen Rechnen – Beispiele

Nun kannst Du Dir das Rechnen mit rationalen Zahlen an einigen konkreten Zahlenbeispielen ansehen.

Gegeben sind die beiden rationalen Zahlen

\begin{marshal} x=-0{,}25 \\[0.1cm] y=\frac{nine}{xx} \end{align}

Für sie soll jeweils nacheinander Folgendes berechnet werden:

\begin{align} x&+y \\ten&-y\\x&\cdot y\\10&:y \end{marshal}

Um das Rechnen mit den Zahlen \(x\) und \(y\) zu erleichtern, wandelst Du zuerst \(x\) ebenfalls in eine Bruchzahl um:

$$x=-0{,}25=-\frac{1}{4}$$

Nun führst Du die einzelnen Rechnungen durch.

Addition: \brainstorm{align}x+y&=-\frac{1}{iv}+\frac{9}{20}\\[0.2cm]&=-\frac{5}{20}+\frac{9}{20}\\[0.2cm]&=\frac{four}{20}\cease{marshal}Subtraktion: \begin{align}ten-y&=-\frac{1}{iv}-\frac{9}{20}\\[0.2cm]&=-\frac{five}{twenty}-\frac{9}{20}\\[0.2cm]&=-\frac{xiv}{xx}\finish{align}Multiplikation: \begin{marshal}x\cdot y&=\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{9}{twenty}\\[0.2cm]&=-\frac{9}{eighty}\end{marshal}Division: \begin{align}x:y&=\left(-\frac{ane}{4}\right):\frac{9}{20}\\[0.2cm]&=\left(-\frac{one}{four}\correct)\cdot \frac{20}{9}\\[0.2cm]&=-\frac{twenty}{36}\end{align}

Noch mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung "Bruchrechnen".

Rationale Zahlen Aufgaben

In diesem Abschnitt findest Du ein paar Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen zu rationalen Zahlen vertiefen kannst.

Aufgabe 1

Welche der folgenden Zahlen sind rationale Zahlen?

1. \(4{,}five\)
2. \(\pi\)
3. \(\frac{three}{2}\)
4. \(\sqrt{three}\)
5. \(one\)

Lösung

\(4{,}v\,\,,\frac{iii}{2}\) und \(i\) gehören zu den rationalen Zahlen. \(\pi\) und \(\sqrt{3}\) sind irrationale Zahlen.

Aufgabe 2

Gegeben sind die beiden rationalen Zahlen

\begin{align} ten&=\frac{iii}{2} \\[0.2cm] y&=\frac{17}{eight} \end{marshal}

Für sie sollen jeweils nacheinander folgendes berechnet werden:

\begin{align} x&+y \\x&-y\\x&\cdot y\\x&:y \end{align}

Lösung

Addition: \begin{align}ten+y&=\frac{3}{ii}+\frac{17}{8}\\[0.2cm]&=\frac{12}{8}+\frac{17}{viii}\\[0.2cm]&=\frac{29}{8}\stop{align}

Subtraktion: \brainstorm{align}x-y&=\frac{3}{2}-\frac{17}{8}\\[0.2cm]&=\frac{12}{eight}-\frac{17}{8}\\[0.2cm]&=-\frac{5}{8}\end{marshal}Multiplikation: \begin{align}10\cdot y&=\frac{3}{2}\cdot \frac{17}{8}\\[0.2cm]&=\frac{51}{xvi}\end{align}Division: \begin{align}ten:y&=\frac{3}{2}:\frac{17}{eight}\\[0.2cm]&=\frac{3}{2}\cdot \frac{8}{17}\\[0.2cm]&=\frac{24}{34}\end{align}

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Nachweise

1. Körner (2011). Grundwissen Rationale Zahlen: 7.-10. Klasse. Bergedorfer Kopiervorlagen.
2. Harnischfeger; Juen (2013). Ganze Zahlen - Rationale Zahlen. Klippert.

Source: https://www.studysmarter.de/schule/mathe/algebra/rationale-zahlen/

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